Вероятность наступления события не менее k раз - 30 Мая 2014

Главная » » Вероятность наступления события не менее k раз

16:06

Вероятность наступления события не менее k раз

Найти вероятность того, что в 15 независимых испытаниях событие появится: а) ровно 6 раз; б) не менее 6 раз; в) не более 6 раз; г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна 0.6.

Исходные данные: p = 0.6, q = 1- p = 1 - 0.6 = 0.4
Решаем, используя калькулятор.

Формула Бернулли:
$P_{n}\left(k\right) = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}p^{k}q^{n-k}$
1) Событие наступит ровно k = 6 раз;
$P_{15}\left(6\right) = \frac{15!}{6!\left(15-6\right)!}0.6^{6}0.4^{15-6} = 0.061214102950$
4) событие наступит не менее 6 раз;
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее k раз равна: P(x ≥ k) = P_n(k) + P_n(k+1) + ... + P_n(n)
$P_{15}\left(6\right) = \frac{15!}{6!\left(15-6\right)!}0.6^{6}0.4^{15-6} = 0.061214102950$
$P_{15}\left(7\right) = \frac{15!}{7!\left(15-7\right)!}0.6^{7}0.4^{15-7} = 0.118055769975$
$P_{15}\left(8\right) = \frac{15!}{8!\left(15-8\right)!}0.6^{8}0.4^{15-8} = 0.177083658180$
$P_{15}\left(9\right) = \frac{15!}{9!\left(15-9\right)!}0.6^{9}0.4^{15-9} = 0.206597601210$
$P_{15}\left(10\right) = \frac{15!}{10!\left(15-10\right)!}0.6^{10}0.4^{15-10} = 0.185937844092$
$P_{15}\left(11\right) = \frac{15!}{11!\left(15-11\right)!}0.6^{11}0.4^{15-11} = 0.126775802790$
$P_{15}\left(12\right) = \frac{15!}{12!\left(15-12\right)!}0.6^{12}0.4^{15-12} = 0.063387901395$
$P_{15}\left(13\right) = \frac{15!}{13!\left(15-13\right)!}0.6^{13}0.4^{15-13} = 0.021941965920$
$P_{15}\left(14\right) = \frac{15!}{14!\left(15-14\right)!}0.6^{14}0.4^{15-14} = 0.004701849840$
$P_{15}\left(15\right) = 0.6^{15} = 0.000470184984$
P(x ≥ 6) = 0.06121 + 0.1181 + 0.1771 + 0.2066 + 0.1859 + 0.1268 + 0.06339 + 0.02194 + 0.0047 + 0.00047 = 0.966166681336
5) событие наступит не более 6 раз;
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не более k раз равна: P(x ≤ k) = P_n(0) + P_n(1) + ... + P_n(k)
P(0) = 0.4¹⁵ = 0.000001073741
$P_{15}\left(1\right) = \frac{15!}{1!\left(15-1\right)!}0.6^{1}0.4^{15-1} = 0.000024159180$
$P_{15}\left(2\right) = \frac{15!}{2!\left(15-2\right)!}0.6^{2}0.4^{15-2} = 0.000253671390$
$P_{15}\left(3\right) = \frac{15!}{3!\left(15-3\right)!}0.6^{3}0.4^{15-3} = 0.001648864490$
$P_{15}\left(4\right) = \frac{15!}{4!\left(15-4\right)!}0.6^{4}0.4^{15-4} = 0.007419890205$
$P_{15}\left(5\right) = \frac{15!}{5!\left(15-5\right)!}0.6^{5}0.4^{15-5} = 0.024485639178$
$P_{15}\left(6\right) = \frac{15!}{6!\left(15-6\right)!}0.6^{6}0.4^{15-6} = 0.061214102950$
P(x ≤ 6) = 0.000001073741 + 2.4E-5 + 0.000254 + 0.00165 + 0.00742 + 0.02449 + 0.06121 = 0.095047401134
7) событие наступит хотя бы один раз;
Найдем вероятность того, что событие не наступит ни одного раза.
P₀ = qⁿ = 0.4¹⁵ = 0.000001073741
Тогда вероятность того, что событие наступит хотя бы один раз равна: P₁ = 1 - P₀ = 1 - 0.000001073741 = 0.999998926259