Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

y''=5y'+6y=(12x-7)exp(-x), y(0)=0, y'(0)=0

Решение получаем с помощью калькулятора решение дифференциального уравнения.

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² -5r + 6 = 0
D = (-5)² - 4 • 1 • 6 = 1
,
Корни характеристического уравнения: r₁ = 3, r₂ = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^3x, y₂ = e^2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = (12x-7)•e^-x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение: y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 12•x-7, Q(x) = 0, α = -1, β = 0.
Следовательно, число α + βi = -1 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = A•e^-x-(B+A•x)•e^-x
y'' = (B+A•x)•e^-x-2•A•e^-x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' -5y' + 6y = ((B+A•x)•e^-x-2•A•e^-x) -5(A•e^-x-(B+A•x)•e^-x) + 6((Ax + B)e^-x) = (12x-7)•e^-x или -7•A•e^-x+12•B•e^-x+12•A•x•e^-x = (12x-7)•e^-x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1: -7A + 12B = -7
x: 12A = 12
Решая ее, находим: A = 1;B = 0;
Частное решение имеет вид: y^* = (x )e^-x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 0
Поскольку y(0) = c₁+c₂, то получаем первое уравнение: c₁+c₂ = 0
Находим первую производную: y' = -x•e^-x+e^-x+2c₂•e^2x+3c₁•e^3x
Поскольку y'(0) = 1+2c₂+3c₁, то получаем второе уравнение: 1+2c₂+3c₁ = 0
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁+c₂ = 0
1+2c₂+3c₁ = 0
которую решаем методом исключения переменных.
c₁ = -1, c₂ = 1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Решение линейных дифференциальных уравнений
Вместе с этой задачей решают также:
Пределы онлайн
Диф уравнения онлайн
Производная онлайн
Интегралы онлайн
Задачи по теории вероятностей
Математика онлайн