Задание. Является ли выпуклой функция на пространстве R2
f(x) = sqrt(1+x12+x22)
Решение получаем с помощью онлайн сервиса Матрица Гессе. 1. Найдем частные производные.
}{ \partial x_{1}} = \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}%2Bx_{2}^{2}%2B1}})
}{ \partial x_{2}} = \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}%2Bx_{2}^{2}%2B1}})
2. Решим систему уравнений.
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x1 и подставляем во второе уравнение:
x2 = 0
Откуда x2 = 0
Данные значения x2 подставляем в выражение для x1. Получаем: x1 = 0
Количество критических точек равно 1.
M1(0;0)
3. Найдем частные производные второго порядка.
}{ \partial x_{1} \partial x_{2}} = -x1\cdot \frac{x2}{\left(x1^{2}%2Bx2^{2}%2B1\right)^{3/2}})
}{ \partial x_{1}^{2}} = -\frac{x1^{2}}{\left(x1^{2}%2Bx2^{2}%2B1\right)^{3/2}}%2B\frac{1}{\sqrt{x1^{2}%2Bx2^{2}%2B1}})
}{ \partial x_{2}^{2}} = -\frac{x2^{2}}{\left(x1^{2}%2Bx2^{2}%2B1\right)^{3/2}}%2B\frac{1}{\sqrt{x1^{2}%2Bx2^{2}%2B1}})
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(0;0)
}{ \partial x_{1}^{2}}}_{\left(0;0\right)} = 1)
}{ \partial x_{2}^{2}}}_{\left(0;0\right)} = 1)
}{ \partial x_{1} \partial x_{2}}}_{\left(0;0\right)} = 0)
Строим матрицу Гессе:
D1 = a11 > 0, D2 = 1 > 0
В точке M1(0;0) матрица Гессе положительно полуопределена и функция является выпуклой.
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Матрица Гессе
|