Двум предприятиям А и В на период Т продолжительностью 6 лет выделено U=1100 условных единиц денежных средств. Известно, что при выделении Х средств предприятие А обеспечивает доход за год в размере 3Х единиц и остаток от выделенных средств на дальнейшее развитие в количестве 0,1Х единиц, а при выделении средств предприятию В обеспечивается ежегодный доход в размере 2Y единиц при остатке от выделенных средств в количестве 0,3Y единиц. Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями так, чтобы общий суммарный доход за указанный период был максимальным при ежегодном перераспределении средств между предприятиями.

Решение получаем с помощью калькулятора "Распределение ресурсов между предприятиями".

Показатель эффективности k-го шага равен:
F_k = 3x_k + 2(e^k-1-x_k) = x_k + 2e^k-1
уравнение состояния принимает вид:
e_k = 0.1x_k + 0.3(e^k-1-x_k) = -0.2x_k + 0.3e^k-1
Тогда рекуррентные соотношения Беллмана запишутся следующим образом:
F₆(e⁵) = max[x₆ + 2e⁵]
0 ≤ x₆ ≤ e⁵
F_k(e^k-1) = max[x_k + 2e^k-1 + F_k+1(-0.2x_k + 0.3e^k-1)]
k = 1,2
0 ≤ x_k ≤ e^k-1
Проведем этап условной оптимизации.
6-й шаг:
F₆(e⁵) = max[x₆ + 2e⁵] = 3e⁵
0 ≤ x₆ ≤ e⁵
Так как показатель эффективности F₆(e⁵) является линейной функцией относительно x₆ и эта переменная входит в выражение со знаком плюс, то он достигает максимума в конце интервала 0 ≤ x₆ ≤ e⁵, т.е. при x₆ = e⁵.
5-й шаг:
F₅(e⁴) = max[x₅ + 2e⁴ + F₆(-0.2x₅ + 0.3e⁴)] = max[x₅ + 2e⁴ + 3(-0.2x₅ + 0.3e⁴)] = 0.4x₅ + 2.9e⁴ = 3.3e⁴
0 ≤ x₅ ≤ e⁴
Так как показатель эффективности F₅(e⁴) является линейной функцией относительно x₅ и эта переменная входит в выражение со знаком плюс, то он достигает максимума в конце интервала 0 ≤ x₅ ≤ e⁴, т.е. при x₅ = e⁴.
4-й шаг:
F₄(e³) = max[x₄ + 2e³ + F₅(-0.2x₄ + 0.3e³)] = max[x₄ + 2e³ + 3.3(-0.2x₄ + 0.3e³)] = 0.34x₄ + 2.99e³ = 3.33e³
0 ≤ x₄ ≤ e³
Так как показатель эффективности F₄(e³) является линейной функцией относительно x₄ и эта переменная входит в выражение со знаком плюс, то он достигает максимума в конце интервала 0 ≤ x₄ ≤ e³, т.е. при x₄ = e³.
3-й шаг:
F₃(e²) = max[x₃ + 2e² + F₄(-0.2x₃ + 0.3e²)] = max[x₃ + 2e² + 3.33(-0.2x₃ + 0.3e²)] = 0.334x₃ + 2.999e² = 3.333e²
0 ≤ x₃ ≤ e²
Так как показатель эффективности F₃(e²) является линейной функцией относительно x₃ и эта переменная входит в выражение со знаком плюс, то он достигает максимума в конце интервала 0 ≤ x₃ ≤ e², т.е. при x₃ = e².
2-й шаг:
F₂(e¹) = max[x₂ + 2e¹ + F₃(-0.2x₂ + 0.3e¹)] = max[x₂ + 2e¹ + 3.333(-0.2x₂ + 0.3e¹)] = 0.3334x₂ + 2.9999e¹ = 3.3333e¹
0 ≤ x₂ ≤ e¹
Так как показатель эффективности F₂(e¹) является линейной функцией относительно x₂ и эта переменная входит в выражение со знаком плюс, то он достигает максимума в конце интервала 0 ≤ x₂ ≤ e¹, т.е. при x₂ = e¹.
1-й шаг:
F₁(e⁰) = max[x₁ + 2e⁰ + F₂(-0.2x₁ + 0.3e⁰)] = max[x₁ + 2e⁰ + 3.3333(-0.2x₁ + 0.3e⁰)] = 0.33334x₁ + 2.99999e⁰ = 3.33333e⁰
0 ≤ x₁ ≤ e⁰
Так как показатель эффективности F₁(e⁰) является линейной функцией относительно x₁ и эта переменная входит в выражение со знаком плюс, то он достигает максимума в конце интервала 0 ≤ x₁ ≤ e⁰, т.е. при x₁ = e⁰.
Этап безусловной оптимизации.
Так как e⁰ = 1100, то F_max = F₁(e⁰) = 3666.663 и x₁ = e⁰.
Так как e⁰ = 1100, то e¹ = -0.2*1100 + 0.3*1100 = 110 и x₁ = e⁰.
Так как e¹ = 110, то e² = -0.2*110 + 0.3*110 = 11 и x₂ = e¹.
Так как e² = 11, то e³ = -0.2*11 + 0.3*11 = 1.1 и x₃ = e².
Так как e³ = 1.1, то e⁴ = -0.2*1.1 + 0.3*1.1 = 0.11 и x₄ = e³.
Так как e⁴ = 0.11, то e⁵ = -0.2*0.11 + 0.3*0.11 = 0.011 и x₅ = e⁴.
Так как e⁵ = 0.011, то e⁶ = -0.2*0.011 + 0.3*0.011 = 0.0011 и x₆ = e⁵.
В результате средства по годам (табл.) оптимальным образом распределяются так:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Распределение ресурсов между предприятиями
Вместе с этой задачей решают также:
Задача замены оборудования
Метод прямой и обратной прогонки
Линейное программирование онлайн
Теория массового обслуживания (СМО)
Теория игр