Решите систему линейных уравнений методом Жордано-Гаусса. Найдите общее, базисное и частное решения системы.

x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 3

3x₁ + 6x₂ + 9x₃ + 12x₄ = 9

5x₁ - x₂ - x₃ - x₄ = 9

2x₁ - 2x₂ - 3x₃ + x₄ = 3

Решение получаем с помощью калькулятора Базисные решения системы линейных уравнений

Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	x4	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	3 / 1 = 3	4 / 1 = 4	3 / 1 = 3

Поскольку разрешающий элемент равен нулю, то поменяем строки матрицы.

Разрешающий элемент равен (-11).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	x4	B
0 / -11 = 0	-11 / -11 = 1	-16 / -11 = 1.45	-21 / -11 = 1.91	-6 / -11 = 0.55

Поскольку разрешающий элемент равен нулю, то поменяем строки матрицы.

Разрешающий элемент равен (-0.27).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	x4	B
0 / -0.27 = 0	0 / -0.27 = 0	-0.27 / -0.27 = 1	4.45 / -0.27 = -16.33	0.27 / -0.27 = -1

Теперь исходную систему можно записать как (общее решение):
x₁ = 2 - 1.67x₄
x₂ = 2 - 25.67x₄
x₃ = -1 + 16.33x₄
Базисное решение получаем приравниванием переменной x₄ к нулю.
x₁ = 2
x₂ = 2
x₃ = -1
Среди базисных переменных есть отрицательные значения. Следовательно, данное решение не опорное.
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Базисные решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса
источник:
Метод Гаусса и метод Жордано-Гаусса