В задачах 321 – 340 найти область сходимости ряда.
Решение получаем с помощью калькулятора "Область сходимости ряда".
Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: ∑anxn
где an - формула числовых коэффициентов. Для данного ряда:
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
R - радиус сходимости. Вычислим его:
x1 = 3 - 1 = 2
x2 = 3 + 1 = 4
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (2;4)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 2
Получаем ряд:
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется
sqrt(2)/2>sqrt(3)/3>1/2
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
Второе условие Лейбница выполняется.
Ряд сходится, значит, x = 2 - точка сходимости.
При x = 4
получаем ряд:
числовой знакоположительный ряд. Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 4 - точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x [2;4)
|