Найти действительные корни уравнения 4-2x-sin(x) = 0 с точностью до трех значащих цифр. Предварительно отделить корни уравнения, привести уравнение к виду, удобному для итерации x=φ(x), и проверить достаточное условие сходимости |φ’(x)| < 1.

Решение находим с помощью калькулятора Метод итераций.

Представим уравнение в форме:

x = x - λ(4-2•x-sin(x))

Найдем максимальное значение производной от функции f(x) = 4-2•x-sin(x)

y = -cos(x)-2

[0;2]

Находим первую производную функции:

y' = sin(x)

Приравниваем ее к нулю:

sin(x) = 0

x₁ = 0

Вычисляем значения функции на концах отрезка

f(0) = -3

f(0) = -3

f(2) = -2-cos(2)

Ответ:

f_min = -3, f_max = -2-cos(2)

max(dF/dx = -cos(x)-2) ≈ -1.5839

Значение λ = 1/(-1.5839) ≈ -0.6314

Таким образом, решаем следующее уравнение:

x+0.6314(4-2•x-sin(x)) = 0

Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [0;2] разобьем на 10 подынтервалов.

h₇ = 0 + 7*(2-0)/10 = 1.4

h₈ = 0 + (7+1)*(2-0)/10 = 1.6

Поскольку F(1.4)*F(1.6)<0, то корень лежит в пределах [1.4;1.6].

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ: x = 1.50111969; F(x) = 0.000187

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Метод Ньютона онлайн