Матрица парных коэффициентов корреляции - 13 Февраля 2015

Главная » » Матрица парных коэффициентов корреляции

09:15

Матрица парных коэффициентов корреляции

По 30 заводам, выпускающим продукцию A, изучается зависимость потребления электроэнергии y (тыс. кВт/ч) от производства продукции – x₁ (тыс. ед.) и уровня механизации – x₂ (%):

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Парный коэффициент корреляции
y	1000	27	r_yx1=0,77
x₁	420	45	r_yx2=0,43
x₂	41,5	18	r_x1x2=0,38

Задание

Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.
Определите показатели частной и множественной корреляции.
Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с
b-коэффициентами.
Рассчитайте общий и частные критерии Фишера и сделайте выводы.

Для решения используем сервис "Матрица парных коэффициентов корреляции".

Матрица парных коэффициентов корреляции R:

	y	x₁	x₂
y	1	0.77	0.43
x₁	0.77	1	0.38
x₂	0.43	0.38	1

Частные коэффициенты корреляции.
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и x_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (x_j) устранено.
На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели.
$r_{yx_{1}/x_{2}} = \frac{r_{yx_{1}} - r_{yx_{2}}\cdot r_{x_{1}x_{2}}}{\sqrt{\left(1-r^{2}_{yx_{2}}\right)\left(1-r^{2}_{x_{1}x_{2}}\right)}}$
$r_{yx_{1}/x_{2}} = \frac{0.77 - 0.43\cdot 0.38}{\sqrt{\left(1-0.43^{2}\right)\left(1-0.38^{2}\right)}} = 0.726$
Теснота связи сильная
$r_{yx_{2}/x_{1}} = \frac{r_{yx_{2}} - r_{yx_{1}}\cdot r_{x_{2}x_{1}}}{\sqrt{\left(1-r^{2}_{yx_{1}}\right)\left(1-r^{2}_{x_{2}x_{1}}\right)}}$
$r_{yx_{2}/x_{1}} = \frac{0.43 - 0.77\cdot 0.38}{\sqrt{\left(1-0.77^{2}\right)\left(1-0.38^{2}\right)}} = 0.233$
Теснота связи низкая.
$r_{x_{1}x_{2}/y} = \frac{r_{x_{1}x_{2}} - r_{x_{1}y}\cdot r_{x_{2}y}}{\sqrt{\left(1-r^{2}_{x_{1}y}\right)\left(1-r^{2}_{x_{2}y}\right)}}$
$r_{x_{1}x_{2}/y} = \frac{0.38 - 0.77\cdot 0.43}{\sqrt{\left(1-0.77^{2}\right)\left(1-0.43^{2}\right)}} = 0.0848$
Теснота связи низкая. Межфакторная связь слабая.
Модель регрессии в стандартном масштабе.
Искомое уравнение в стандартизованном масштабе: t_y=β₁t_x1+β₂t_x2
Расчет β-коэффициентов можно выполнить и по формулам:
$\beta _{1} = \frac{r_{yx1}-r_{yx2}r_{x1x2}}{1-r_{x1x2}^{2}} = \frac{0.77-0.43\cdot 0.38}{1-0.38^{2}} = 0.709$
$\beta _{2} = \frac{r_{yx2}-r_{yx1}r_{x1x2}}{1-r_{x1x2}^{2}} = \frac{0.43-0.77\cdot 0.38}{1-0.38^{2}} = 0.161$
Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:
y⁰ = 0.709x₁ + 0.161x₂
Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:
$b_{j} = \beta \frac{S\left(y\right)}{S\left(x_{j}\right)}$
$a = \overline{y} - \sum{b_{j}\overline{x_{j}}}$
$b_{1} = 0.709\frac{27}{45} = 0.425$
$b_{2} = 0.161\frac{27}{18} = 0.241$
$a = \overline{y} - \sum{b_{j}\overline{x_{j}}}$
a = 1000-0.425 • 420-0.241 • 41.5 = 811.341
Y = 811.341 + 0.425x₁ + 0.241x₂
Частные коэффициенты эластичности.
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:
$E_{i} = b_{i} \frac{\overline{x}_{i}}{ \overline{y} }$
Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора х_j на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели.
$E_{1} = 0.43 \frac{420}{ 1000 } = 0.18$
Частный коэффициент эластичности |E₁| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
$E_{2} = 0.24 \frac{41.5}{ 1000 } = 0.0099$
Частный коэффициент эластичности |E₂| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β-коэффициентов.
$R = \sqrt{\sum{r_{yxi}\beta _{yxi}}} = \sqrt{r_{yx1}\beta _{yx1} + r_{yx2}\beta _{yx2}}$
$R = \sqrt{0.77\cdot 0.709 + 0.43\cdot 0.161} = \sqrt{0.615} = 0.784$
Коэффициент детерминации
R² = 0.615
Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R² или b₁ = b₂ =... = b_m = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).
Для ее проверки используют F-критерий Фишера.
При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R², рассчитанный по данным конкретного наблюдения.
По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k₁=m и k₂=n-m-1.
2) F-статистика. Критерий Фишера.
R² = 0.61
Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.
Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:
$\overline{R}^{2} = 1 - \left(1 - R^{2}\right)\frac{n-1}{n-m-1}$
$\overline{R}^{2} = 1 - \left(1 - 0.61\right)\frac{30-1}{30-2-1} = 0.586$
Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.
Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:
H₀: R² = 0; β₁ = β₂ = ... = β_m = 0.
H₁: R² ≠ 0.
Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка).
Если F < F_kp = F_{α ; n-m-1}, то нет оснований для отклонения гипотезы H₀.
$F = \frac{R^{2}}{1 - R^{2}}\frac{n - m -1}{m} = \frac{0.61}{1 - 0.61}\frac{30-2-1}{2} = 21.56$
Табличное значение при степенях свободы k₁ = 2 и k₂ = n-m-1 = 30 - 2 - 1 = 27, Fkp(2;27) = 3.37

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно
Оценка значимости дополнительного включения фактора (частный F-критерий).
Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличить долю объясненной вариации результативного признака. Это может быть связано с последовательностью вводимых факторов (т. к. существует корреляция между самими факторами).
Мерой оценки значимости улучшения качества модели, после включения в нее фактора х_j, служит частный F-критерий – F_xj:
$F_{xj} = \frac{R^{2} - R^{2}\left(x_{1},x_{n}\right)}{1-R^{2}} \left(n - m - 1\right)$
где m – число оцениваемых параметров.
В числителе - прирост доли вариации у за счет дополнительно включенного в модель фактора х_j.
Если наблюдаемое значение F_xj больше F_kp, то дополнительное введение фактора x_j в модель статистически оправдано.
Оценим с помощью частного F-критерия:
1) целесообразность включения в модель регрессии факторов х₁ после введения х_j (F_x1).
Определим наблюдаемое значение частного F-критерия:
$F{x1} = \frac{0.61-0.185}{1 - 0.61} \left(30 - 2 - 1\right) = 30.158$
R²(x₂,x_n) = r²(x₂) = 0.43² = 0.185
F_kp(k1=1;k2=27) = 4.23
Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим:
F_x1>4.23, следовательно, фактор х₁ целесообразно включать в модель после введения факторов х_j.
2) целесообразность включения в модель регрессии факторов х₂ после введения х_j (F_x2).
Определим наблюдаемое значение частного F-критерия:
$F{x2} = \frac{0.61-0.593}{1 - 0.61} \left(30 - 2 - 1\right) = 1.547$
R²(x₁,x_n) = r²(x₁) = 0.77² = 0.593
Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим:
F_x2<4.23, следовательно, фактор х₂ не целесообразно включать в модель после введения факторов х_j.
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Матрица парных коэффициентов корреляции
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение множественной регрессии
Уравнение парной линейной регрессии

Просмотров: 6807 | Добавил: semestr | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0


Имя *:
Email *:

Код *:

« Февраль 2015 »
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28