Определить, является ли система векторов А1 = (5,4,3,2), А2 = (3,3,2,2), А3 = (8,1,3, –4) линейно-зависимой; если она линейно-зависима, то найти ее максимальную
линейно-независимую подсистему.
Решение получаем с помощью калькулятора Системы линейных однородных уравнений.
Выпишем основную матрицу системы:
| |
| 5 |
4 |
3 |
2 |
| 3 |
3 |
2 |
2 |
| 8 |
1 |
3 |
-4 |
| x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (-3). Умножим 2-ую строку на (5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-8). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| |
| 0 |
3 |
1 |
4 |
| 0 |
-21 |
-7 |
-28 |
| 8 |
1 |
3 |
-4 |
|
|
|
Умножим 1-ую строку на (7). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
-21 |
-7 |
-28 |
| 8 |
1 |
3 |
-4 |
|
|
|
В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Найдем ранг матрицы.
| |
| 0 |
-21 |
-7 |
-28 |
| 8 |
1 |
3 |
-4 |
| x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3,x4 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
| |
| 0 |
-21 |
7 |
28 |
| 8 |
1 |
-3 |
4 |
| x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 21x2 = 7x3 + 28x4
8x1 + x2 = - 3x3 + 4x4
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3,x4, то есть нашли общее решение:
x2 = - 1/3x3 - 4/3x4
x1 = - 1/3x3 + 2/3x4
Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений.
В нашем случае n=4, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 2-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.
Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2.
Достаточно придать свободным неизвестным x3,x4 значения из строк определителя 2-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x1,x2.
Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Системы линейных однородных уравнений
|