Распределение относительных частот - 10 Января 2014

Главная » » Распределение относительных частот

11:45

Распределение относительных частот

II вариант

Задача 1

Имеются следующие данные об итоговой успеваемости студентов группы по предмету:

Оценка	Кол-во студентов
5	9
4	13
3	6
2	2

а) вычислите распределение относительных частот.

б) вычислите среднюю оценку по группе.

Решение.

а) Распределение относительных частот

Оценка
Кол-во студентов
Частота, ni/n
5
9
0,3
4
13
0,43
3
6
0,2
2
2
0,07
Итого
30
1

б) Среднюю оценку по группе вычисляем с помощью калькулятора "Показатели вариации"

x_i	Кол-во, f_i	x_i * f_i	Частота, f_i/n
5	9	45	0.3
4	13	52	0.43
3	6	18	0.2
2	2	4	0.0667
	30	119	1

Средняя взвешенная
$\overline{x} = \frac{ \sum{x\cdot f}}{\sum{f}}$
$\overline{x} = \frac{119}{30} = 3.97$

таким образом, средняя оценка составила 3.97 балла.

Задача 2.

Вычислите среднее, медиану и моду для следующего набора данных:

3, 7, 4, 9, 5, 4, 6, 17, 4, 7.

Решение ведем, используя сервис группировка.

Построим дискретный вариационный ряд. Для этого отсортируем ряд по возрастанию и подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда.

3
4
4
4
5
6
7
7
9
17

Таблица для расчета показателей.

x_i	Кол-во, f_i	x_i * f_i	Накопленная частота, S	\|x - x_ср\|*f	(x - x_ср)²*f	Частота, f_i/n
3	1	3	1	3.6	12.96	0.1
4	3	12	4	7.8	20.28	0.3
5	1	5	5	1.6	2.56	0.1
6	1	6	6	0.6	0.36	0.1
7	2	14	8	0.8	0.32	0.2
9	1	9	9	2.4	5.76	0.1
17	1	17	10	10.4	108.16	0.1
	10	66		27.2	150.4	1

Средняя взвешенная
$\overline{x} = \frac{ \sum{x\cdot f}}{\sum{f}}$
$\overline{x} = \frac{66}{10} = 6.6$
Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.
Максимальное значение повторений при x = 4 (f = 3). Следовательно, мода равна 4.
Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Находим x_i, при котором накопленная частота S будет больше ∑f/2 = 6. Это значение x_i = 7. Таким образом, медиана равна 7.

Задача 3

Наблюдается некоторый спрос на какую-то особую модель телефона за период в 65 рабочих дней магазина.

Спрос по дням	Количество дней
0	10
1	15
2	12
3	18
4	6
5	4

Рассчитайте каков средний ежедневный спрос на этот товар за 65 дней.

Методические рекомендации: задача решается с помощью калькулятора "Показатели вариации". В условиях необходимо выбрать тип ряда: Вариационный ряд.

Задача 4

Распределение частот посещений студентами библиотеки в рабочую неделю

Кол-во посещений библиотеки	Кол-во студентов
2	1
3	4
4	12
5	8
6	5

Вычислите по этим данным:

а) размах вариации;

б) среднее линейное отклонение;

в) дисперсию;

г) среднее квадратическое отклонение;

д) коэффициент вариации.

Сделайте вывод об однородности совокупности.

Задача 5

В порядке типической пропорциональной выборки обследован семейный бюджет населения населенного пункта (100 семей из общего числа 2000).

Доля семейного бюджета,%	6	7	8	9	10	11	12
Число семей	11	13	18	23	17	10	8

Установите:

а) среднюю долю семейного бюджета по выборке;

б) величину ошибки при определении доли семейного бюджета на основе выборки;

в) вероятные пределы колебания семенного бюджета при вероятности 0, 954.

Решение осуществляется с помощью сервиса Показатели вариации.

Таблица для расчета показателей.

x_i	Кол-во, f_i	x_i * f_i	Накопленная частота, S	\|x - x_ср\|*f	(x - x_ср)²*f	Частота, f_i/n
6	11	66	11	31.24	88.72	0.11
7	13	91	24	23.92	44.01	0.13
8	18	144	42	15.12	12.7	0.18
9	23	207	65	3.68	0.59	0.23
10	17	170	82	19.72	22.88	0.17
11	10	110	92	21.6	46.66	0.1
12	8	96	100	25.28	79.88	0.08
	100	884		140.56	295.44	1

а) Средний процент
$\overline{x} = \frac{ \sum{x\cdot f}}{\sum{f}}$
$\overline{x} = \frac{884}{100} = 8.84$ %
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
$D = \frac{\sum{\left(x_{i} - \overline{x}\right)^{2} f}}{\sum{f}}$
$D = \frac{295.44}{100} = 2.95$
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.
$S^{2} = \frac{\sum{\left(x_{i} - \overline{x}\right)^{2} f}}{\sum{f}-1}$
$S^{2} = \frac{295.44}{99} = 2.98$
Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{2.954} = 1.72$
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 8.84 в среднем на 1.72
Оценка среднеквадратического отклонения.
$s = \sqrt{S^{2} } = \sqrt{2.98} = 1.73$
Доверительный интервал для генерального среднего.
$\left(\overline{x} - t_{kp} \frac{s}{\sqrt{n}} \sqrt{1 - \frac{n}{N}}; \overline{x} + t_{kp} \frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{1 - \frac{n}{N}}\right)$
или
$\left(\overline{x} - t_{kp} \frac{s}{\sqrt{n}} \sqrt{1 - \frac{d}{100}}; \overline{x} + t_{kp} \frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{1 - \frac{d}{100}}\right)$
где d - процент выборки.
В этом случае 2Ф(t_kp) = γ
Ф(t_kp) = γ/2 = 0.954/2 = 0.477
По таблице функции Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.477
t_kp(γ) = (0.477) = 2
$\epsilon = t_{kp} \frac{s}{\sqrt{n}} \sqrt{1 - \frac{d}{100}} = 2 \frac{1.73}{\sqrt{100}}\sqrt{1 - \frac{5}{100}} = 0.34$
(8.84 - 0.34;8.84 + 0.34) = (8.5;9.18)
С вероятностью 0.954 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Задача 6

Есть ли статистически значимая связь между удовлетворенностью уровнем заработной платы в зависимости от семейного положения.

Семейное положение	удовлетворенность		Σ
Семейное положение	Доволен	Не доволен	Σ
Холост	14	9	23
женат	16	11	27
Σ	30	20	50

Решение получаем, используя онлайн-калькулятор "Коэффициент контингенции".

Для проверки независимости признаков «A» и «B» проверяем нулевую гипотезу Н₀:(p_ij = pi*p*j для всех i, j). Вычислим статистику χ² набл по формуле:
$\chi {2} = \sum{}\sum{\frac{\left(n_{ij}-n_{ij}^{\cdot }\right)^{2}}{n_{ij}^{\cdot }}}$
где n_ij – наблюдаемые частоты.
Если значение χ²_набл попало в критическую область: χ² > χ²_крит(α ; v=1), нулевая гипотеза отвергается с вероятностью ошибки α и признаки считаются зависимыми.
В этом случае имеет смысл измерить полученную связь между X и Y с помощью коэффициентов связи (сопряженности).
Рассчитаем теоретические частоты по формуле:
$n_{ij}^{\cdot } = \frac{n_{i\cdot }n_{\cdot j}}{n}$
для всех клеток таблицы
$n_{11}^{\cdot } = \frac{n_{1\cdot }n_{\cdot 1}}{n} = \frac{23\cdot 30}{50} = 13.8$
$n_{12}^{\cdot } = \frac{n_{1\cdot }n_{\cdot 2}}{n} = \frac{23\cdot 20}{50} = 9.2$
$n_{21}^{\cdot } = \frac{n_{2\cdot }n_{\cdot 1}}{n} = \frac{27\cdot 30}{50} = 16.2$
$n_{22}^{\cdot } = \frac{n_{2\cdot }n_{\cdot 2}}{n} = \frac{27\cdot 20}{50} = 10.8$
Получим таблицу сопряженности теоретических частот распределения:

	A1	A2	n_i*
P1	13.8	9.2	23
P2	16.2	10.8	27
n_*j	30	20	50

Вычислим статистику χ²:
$\chi {2} = \sum{}\sum{\frac{\left(n_{ij}-n_{ij}^{\cdot }\right)^{2}}{n_{ij}^{\cdot }}} =$
$= \frac{\left(14-13.8\right)^{2}}{13.8} + \frac{\left(9-9.2\right)^{2}}{9.2} + \frac{\left(16-16.2\right)^{2}}{16.2} + \frac{\left(11-10.8\right)^{2}}{10.8} = 0.0134$
По таблице χ²-распределения находим:
χ²_крит(0.05;1) = 3.84146
где v = (r-1)(s-1) = (2-1)(2-1) = 1 - число степеней свободы.
Критическая область имеет вид χ² > χ²_крит. Так как вычисленное значение хи-квадрат не попадает в критическую область, то гипотеза о независимости принимается с вероятностью ошибки 0,05.
Воспользуемся критерием χ²_*
$\chi {2}_{\cdot }$ = $\frac{n\left(|n_{11}n_{22}-n_{12}n_{21}|-\frac{1}{2}n\right)^{2}}{n_{1\cdot }n_{2\cdot }n_{\cdot 1}n_{\cdot 2}}$ = $\frac{50\left(|14\cdot 11 - 9\cdot 16|-\frac{1}{2}50\right)^{2}}{23\cdot 27\cdot 30\cdot 20}$ = $0.0201$
Сравнив χ²_* с χ²_крит, 0.0201<3.84146 принимаем гипотезу о независимости.
Определим силу связи по коэффициентам сопряженности.
Коэффициент контингенции
$V = \frac{n_{11}n_{22} - n_{21}n_{12}}{\sqrt{n_{1\cdot }n_{2\cdot }n_{\cdot 1}n_{\cdot 2}}} = \frac{14\cdot 11 - 16\cdot 9}{\sqrt{23\cdot 27\cdot 30\cdot 20}} = 0.0164$
Таким образом, связь между удовлетворенностью уровнем заработной платы в зависимости от семейного положения низкая.

Просмотров: 3829 | Добавил: semestr | Рейтинг: 5.0/1

Всего комментариев: 0


Имя *:
Email *:

Код *:

« Январь 2014 »
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31